金年會(huì)官網(wǎng)注冊大學(xué)物理機(jī)械振動(dòng)框架圖及解題方法doc《新編基礎(chǔ)物理學(xué)》學(xué)習(xí)指導(dǎo) 第5章 機(jī)械振動(dòng) PAGE  PAGE 64 第5章 機(jī)械振動(dòng) 一、基本要求 1．掌握描述簡諧運(yùn)動(dòng)各物理量的物理意義及相互關(guān)系，能根據(jù)給定的初始條件建立簡諧運(yùn)動(dòng)方程； 2．掌握旋轉(zhuǎn)矢量法，并能用以求解初相、相位、相位差、時(shí)間差；理解簡諧運(yùn)動(dòng)合成規(guī)律； 3．理解振幅、周期、頻率、相位等描述機(jī)械波的重要物理量。 二、基本內(nèi)容 （一）本章重點(diǎn)和難點(diǎn)： 重點(diǎn)：理解簡諧運(yùn)動(dòng)特征并能根據(jù)給定的初始條件寫出簡諧運(yùn)動(dòng)方程。 難點(diǎn)：掌握旋轉(zhuǎn)矢量法在解題中的應(yīng)用。 （二） 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖： 簡諧振動(dòng) 運(yùn)動(dòng)方程 簡諧振動(dòng)能量 簡諧振動(dòng)合成 速度方程 加速度方程 動(dòng)能 勢能 合振幅 合相位 (三）容易混淆的概念： 1.初相和相位 初相反映簡諧運(yùn)動(dòng)物體在初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；相位反映簡諧運(yùn)動(dòng)物體在任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 2.角頻率和頻率 角頻率（圓頻率）反映角位置隨時(shí)間的變化，對(duì)于諧振子而言，由勁度系數(shù)和質(zhì)量決定，又稱固有頻率；頻率是單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)，是周期的倒數(shù)。 （四）主要內(nèi)容： 1．簡諧運(yùn)動(dòng)的基本概念： 運(yùn)動(dòng)方程：， 速度方程：， 加速度方程：， 周期： 頻率： 時(shí)間差與相位差的關(guān)系： 2.旋轉(zhuǎn)矢量法： 在平面上畫一矢量，初始位置與軸正方向的夾角等于初相位,其尾端固定在坐標(biāo)原點(diǎn)上，其長度等于振動(dòng)的振幅，并以圓頻率為角速度繞原點(diǎn)作逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則矢量在軸上的投影為：。 旋轉(zhuǎn)矢量做一次圓周運(yùn)動(dòng)，其矢端在軸上投影點(diǎn)完成一次簡諧運(yùn)動(dòng)。 3.簡諧運(yùn)動(dòng)實(shí)例： （1）彈簧振子 振動(dòng)方程： 角頻率和周期：， 4.簡諧運(yùn)動(dòng)的能量： 動(dòng)能： 勢能： 機(jī)械能：總能量（守恒） 5.簡諧運(yùn)動(dòng)的合成： （1）兩個(gè)同方向、同頻率簡諧振動(dòng)的合成：仍為簡諧振動(dòng)：。其中合振幅和合初相分別為： 同相：當(dāng)相位差滿足的偶數(shù)倍，即：時(shí)，振動(dòng)加強(qiáng)，； 反相：當(dāng)相位差滿足的奇數(shù)倍，即：時(shí)，振動(dòng)減弱，。 （2）同方向、頻率相近的兩簡諧運(yùn)動(dòng)合成后，振幅隨時(shí)間緩慢地周期性變化的現(xiàn)象稱為“拍”，拍頻為； （3）同頻率、相互垂直的兩簡諧運(yùn)動(dòng)的合成，一般為橢圓運(yùn)動(dòng)； （4）相互垂直、頻率成整數(shù)比的兩簡諧運(yùn)動(dòng)合成，形成李薩如圖形。 （五）思考問答： 問題1 符合什么規(guī)律的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)？ 答：當(dāng)物體所受的合外力大小與位移成正比且方向與位移方向相反時(shí)，即；或物體的運(yùn)動(dòng)方程滿足時(shí)間的余弦或正弦關(guān)系，或物體的動(dòng)力學(xué)方程滿足： 時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)。 問題3 彈簧振子做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果振幅增為原來的兩倍而頻率減小為原來的一半，問他的總能量怎樣改變？ 答：因?yàn)椋海?，?dāng)， 時(shí)，總能量，不改變。 問題4 如何判斷振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)？ 答：確定振動(dòng)物體是否做簡諧運(yùn)動(dòng)的依據(jù)是簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征和動(dòng)力學(xué)特征，即： 或, 或 。 歸納起來，凡滿足下列情況之一者為簡諧運(yùn)動(dòng)： ⑴離開平衡位置的位移和時(shí)間滿足； ⑵加速度和位移滿足； ⑶回復(fù)力和位移成正比而且反向（這樣的力稱線性回復(fù)力）：； ⑷位移滿足簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程:； ⑸運(yùn)動(dòng)過程中，物體的動(dòng)能和勢能均隨時(shí)間做簡諧變化，且機(jī)械能守恒。 問題5 質(zhì)點(diǎn)作簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移、速度、加速度三者能同時(shí)為零，能同時(shí)有最大值嗎？ 答：依據(jù)簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： 得： 回答顯然是否定的，因?yàn)椋?⑴位移為零時(shí)，加速度為零，速度則以最大值通過平衡位置； ⑵位移最大時(shí)，加速度最大，速度則為零。 問題6 兩個(gè)必須澄清的概念： ⑴把單擺的擺球拉開一個(gè)甚小的角度 ，然后放手任其擺動(dòng)，并在放手時(shí)開始計(jì)時(shí).問：（a）是不是單擺的初相；(b)擺球的角度是單擺的角頻率嗎？ ⑵對(duì)彈簧振子系統(tǒng)而言，忽略了彈簧的質(zhì)量，則系統(tǒng)的角頻率為；倘若彈簧 的質(zhì)量不可忽略，振子系統(tǒng)的角頻率可以是 嗎？ 答：⑴(a)有些讀者可以認(rèn)為：擺球從角位置開始運(yùn)動(dòng)，滿足初始條件，且初相的量綱是角度，故得出就是初相的結(jié)論，這是錯(cuò)誤的。這里必須指出兩點(diǎn)：第一，兩個(gè)量綱相同的物理量，并不意味著其物理意義相同。例如：功和力矩具有相同的物理量綱，但物理意義完全不相同；第二，簡諧運(yùn)動(dòng)中的初相能確定振動(dòng)系統(tǒng)在初始時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而初相本身不是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，不與某一具體角對(duì)應(yīng)，只有在簡諧運(yùn)動(dòng)中，旋轉(zhuǎn)矢量圖中初相才表現(xiàn)為初始時(shí)刻旋轉(zhuǎn)矢量A與坐標(biāo)軸的夾角。在本題中，時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)處在最大角位移 =處，角速度為零，則初相為零。 (b)錯(cuò)誤。必須清楚系統(tǒng)做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的角頻率是由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定的，而與其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)，故又稱固有頻率。只有在簡諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖中，矢量A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度才表示振動(dòng)系統(tǒng)的角頻率。 ⑵不可以。第一，對(duì)于忽略質(zhì)量的彈簧，振子偏離平衡位置時(shí)，彈簧中各部分中的彈性力相同，即為振子受到的彈性力。若彈簧的質(zhì)量不可忽略，則彈簧中各部分的彈性力不相同，作用在振子上的彈性力無法列出；第二，彈簧振子的簡諧運(yùn)動(dòng)必須遵守牛頓定律，而牛頓定律適用的條件之一是質(zhì)點(diǎn)，若考慮彈簧的質(zhì)量，由于彈簧本身不能視為質(zhì)點(diǎn)，故也就不能將加到上去了。 三、解題方法 1.已知質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅、角頻率、初始條件等，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程。此類題目一般先設(shè)簡諧運(yùn)動(dòng)方程式，再先用旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法由初始條件求得初相，再代入運(yùn)動(dòng)方程標(biāo)準(zhǔn)式。 2.已知質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)方程式，金年會(huì)官網(wǎng)注冊求其振幅、角頻率、周期、頻率、初相等物理量，一般用待定系數(shù)法，與標(biāo)準(zhǔn)式相比較求解。 o x A/2 A M P ? ?/6 ?/3 四、解題指導(dǎo) 1.簡諧振子從平衡位置運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)所需的最短時(shí)間為1/4周期嗎？走過該距離的一半所需的時(shí)間為多少？是1/8周期嗎？振子從平衡位置出發(fā)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),經(jīng)歷1/8周期時(shí)運(yùn)動(dòng)的位移是多少？ 解：（提示：旋轉(zhuǎn)矢量法，設(shè)振子作水平振動(dòng)，作軸，若垂直振動(dòng)，作軸。） 振子作簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，從平衡位置運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)所需的最短時(shí)間是1/4周期。因振子的速度不是常數(shù)，振子作變速直線運(yùn)動(dòng)，所以走過該距離的一半所需的時(shí)間不是1/8周期。 從旋轉(zhuǎn)矢量圖中可以看出:振子從平衡位置運(yùn)動(dòng)到處點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的振幅矢量轉(zhuǎn)過了的角度： 所以 也就是說，振子從平衡位置運(yùn)動(dòng)到處所用的時(shí)間為，而不是。而振子從處運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)的時(shí)間為： 振子從平衡位置出發(fā)，經(jīng)過時(shí)，位移為： 2．已知某質(zhì)點(diǎn)作簡諧運(yùn)動(dòng)，振幅，周期，初始時(shí)刻位于處且向正方向運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。（提示：求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，必須先求出其振動(dòng)的振幅，角頻率以及初相位。 解：（提示，此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法正確求出初相位。） 求初相 方法1 旋轉(zhuǎn)矢量法 質(zhì)點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)相位（初相位）為或 方法2 解析法 將時(shí)，代入簡諧運(yùn)動(dòng)方程有： 即： 時(shí)即所以，取，也可取。 （2）求角頻率 所以，該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：或 3．一個(gè)沿軸作簡諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為，周期為，其振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示．如果時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是： (1)； (2)過平衡位置向正向運(yùn)動(dòng)； (3)過處向負(fù)向運(yùn)動(dòng)； (4)過處向正向運(yùn)動(dòng)． 試求出相應(yīng)的初位相，并寫出振動(dòng)方程． 解：因?yàn)?將以上初值條件代入上式，使兩式同時(shí)成立之值即為該條件下的初位相．故有 4．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參于兩同方向、同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)，它們的振動(dòng)方向分別為： A1 A2 A X ? ?/6 -?/3 O 試用旋轉(zhuǎn)矢量法求出合振動(dòng)方程。 解：（提示：由旋轉(zhuǎn)矢量圖或余弦定理求出合振幅和合初相。） 故合振動(dòng)方程為： 5．圖為兩個(gè)諧振動(dòng)的曲線，試分別寫出其諧振動(dòng)方程． 解：由題圖(a)，時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在平衡位置,(問為什么大于零),（或）, 即： 故： 由圖(b),時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在處,（或） 一秒時(shí)間內(nèi)，旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)過的角度為： 6．某振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的曲線）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相位；???3）到達(dá)點(diǎn)相應(yīng)位置所需時(shí)間。 解：（1）振動(dòng)方程為，其中，，（或），所以得：； （2）由圖可見，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相位為0； （3）質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)點(diǎn)位置所需時(shí)間為： 五.能力訓(xùn)練 1.指出在彈簧振子中，物體處在下列位置時(shí)的位移、速度、加速度和所受的彈性力的數(shù)值和方向：（1）正方向的端點(diǎn)；（2）平衡位置且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（3）平衡位置且向正方向運(yùn)動(dòng)；（4）負(fù)方向的端點(diǎn)。 2.作簡諧振動(dòng)的彈簧振子，當(dāng)物體處于下列情況時(shí)，在速度、加速度、動(dòng)能、彈簧勢能等物理量中，哪幾個(gè)達(dá)到最大值，哪幾個(gè)為零：（1）通過平衡位置時(shí)；（2）達(dá)到最大位移時(shí)。 3.兩個(gè)相同的彈簧掛著質(zhì)量不同的物體，當(dāng)它們相同的振幅作簡諧振動(dòng)時(shí)，問振動(dòng)的能量是否相同？ 4.彈簧振子作簡諧振動(dòng)時(shí)，如果振幅增為原來的兩倍而頻率減小為原來的一半，問它的總能量怎樣改變？ 5.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，振幅為，在起始時(shí)刻的位移為，且向軸正方向運(yùn)動(dòng)，代表此簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量為（ ） 6.已知某簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如左下圖所示，則此簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為（ ） （A） （B） （C） （D） 7.兩個(gè)同周期簡諧振動(dòng)曲線如右上圖所示，的相位比的相位（ ） （A）落后 （B）超前 （C）落后 （D）超前 8.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以頻率作簡諧振動(dòng)時(shí)，它的動(dòng)能的變化頻率為（ ） （A） （B） （C） （D） 9.圖中所畫的是兩個(gè)簡諧振動(dòng)的曲線，若這兩個(gè)簡諧振動(dòng)可疊加，則合成的余弦振動(dòng)的初相位為（ ） （A） （B） （C） （D） 10.有一彈簧振子，振幅，周期，初相。試寫出它的振動(dòng)方程，并作出圖、圖和圖。 11.有一彈簧，當(dāng)其下端掛一質(zhì)量為的物體時(shí)，伸長量為。若使物體上下振動(dòng)，且規(guī)定向下為正方向。（1）當(dāng)時(shí)，物體在平衡位置上方處，由靜止開始向下運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)方程；（2）當(dāng)時(shí)，物體在平衡位置并以的速度向上運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)方程。 12.作簡諧振動(dòng)的物體，由平衡位置向軸正方向運(yùn)動(dòng)，試問經(jīng)過下列路程所需的最短時(shí)間各為周期的幾分之幾？（1）由平衡位置到最大位移處；（2）由平衡位置到處；（3）由處到最大位移處。 13.兩質(zhì)點(diǎn)作同頻率同振幅的簡諧振動(dòng)。第一各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)自振動(dòng)正方向回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)恰好在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)。試用旋轉(zhuǎn)矢量圖表示它們，并求第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程及它們的相位差。 14.如圖為一簡諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系曲線圖 題15圖 15.如圖所示，質(zhì)量為的子彈，以的速度射入并嵌在木塊中，同時(shí)使彈簧壓縮從而作簡諧振動(dòng)，設(shè)木塊的質(zhì)量為，彈簧的勁度系數(shù)為。若以彈簧原長時(shí)物體所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向左為軸正向，求簡諧振動(dòng)方程。 16.質(zhì)量為的物體，以振幅作簡諧振動(dòng)，其最大加速度為。求：（1）振動(dòng)的周期；（2）物體通過平衡位置時(shí)的總能量與總動(dòng)能；（3）物體在何處其動(dòng)能和勢能相等？（4）當(dāng)物體的位移為振幅的一半時(shí)動(dòng)能、勢能各占總能量的多少？ 17.質(zhì)量的小球與輕彈簧組成一振動(dòng)系統(tǒng)，按的規(guī)律作自由振動(dòng)，求（1）振動(dòng)的角頻率、周期、振幅和初相；（2）振動(dòng)的能量；（3）一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能和平均勢能。 18.兩個(gè)同頻率簡諧振動(dòng)1和2的振動(dòng)曲線）兩簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程和；（2）在同一圖中畫出兩簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量，并比較兩振動(dòng)的相位關(guān)系；（3）若兩簡諧振動(dòng)疊加，求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。 題18圖 19.若簡諧運(yùn)動(dòng)方程為：，式中的單位的單位為。求：（1）振幅、頻率、角頻率、周期和初相；（2）時(shí)的位移、速度和加速度。 20.一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅，周期。當(dāng)時(shí)：（1）物體在正方向端點(diǎn)；（2）物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（3）物體在處且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（4）物體在且向正方向運(yùn)動(dòng)。求以上各種情況的運(yùn)動(dòng)方程。 21.有一彈簧，當(dāng)其下端掛一質(zhì)量為的物體時(shí)，伸長量為。若使物體上下振動(dòng)，且規(guī)定向下為正方向。問：（1）當(dāng)時(shí)，物體在平衡位置上方處，由靜止開始向下運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)方程；（2）當(dāng)，物體在平衡位置并以的速度向上運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)方程。 22.做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體，由平衡位置向軸正方向運(yùn)動(dòng)，試問經(jīng)過下列路程所需的最短時(shí)間各為周期的幾分之幾？（1）由平衡位置到最大位移處；(2)由平衡位置到處；（3）由處到最大位移處。 23.質(zhì)量為的物體，以振幅做簡諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為.求：（1）振動(dòng)的周期；（2）物體通過平衡位置時(shí)的總能量與動(dòng)能；（3）物體在何處其動(dòng)能和勢能相等？（4）當(dāng)物體的位移為振幅的一半時(shí)，動(dòng)能、勢能各占總能量的多少？ 24.已知兩同方向同頻

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